Identitas Trigonometri

 

 

Identitas Trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri yang selalu benar untuk setiap nilai dari variabel sudut dalam domain yang valid. Identitas ini memainkan peran penting dalam berbagai cabang matematika, terutama dalam trigonometri dan kalkulus, karena mereka memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri, memecahkan persamaan trigonometri, dan menghitung nilai fungsi trigonometri.

---

1. Fungsi Trigonometri Dasar

Sebelum membahas identitas trigonometri, mari kita tinjau fungsi trigonometri dasar yang digunakan dalam identitas-idents ini:

• Sinus (sin): Untuk sebuah sudut $\theta$, sinus adalah perbandingan antara sisi yang berlawanan dengan sudut $\theta$ dan sisi miring dalam segitiga siku-siku.

  $$\sin(\theta) = \frac{\text{sisi yang berlawanan}}{\text{hipotenusa}}$$

• Kosinus (cos): Kosinus adalah perbandingan antara sisi yang berdekatan dengan sudut $\theta$ dan sisi miring dalam segitiga siku-siku.

  $$\cos(\theta) = \frac{\text{sisi yang berdekatan}}{\text{hipotenusa}}$$

• Tangen (tan): Tangen adalah perbandingan antara sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan dalam segitiga siku-siku.

  $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{sisi yang berlawanan}}{\text{sisi yang berdekatan}}$$

• Kosekan (csc): Kosekan adalah kebalikan dari sinus.

  $$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$$

• Sekan (sec): Sekan adalah kebalikan dari kosinus.

  $$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$$

• Kotin (cot): Kotin adalah kebalikan dari tangen.

  $$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$

---

2. Identitas Trigonometri Dasar

Identitas dasar ini berlaku untuk setiap sudut yang valid dalam fungsi trigonometri.

a. Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang paling mendasar dan penting. Identitas ini berasal dari teorema Pythagoras dalam geometri dan menunjukkan hubungan antara sinus, kosinus, dan tangen.

• Identitas Pythagoras (2D):

  $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$

  Ini adalah identitas paling dasar yang berlaku untuk semua sudut $\theta$.

• Identitas Pythagoras (dalam tangen):

  $$1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$$

  Ini menunjukkan hubungan antara tangen dan sekannya.

• Identitas Pythagoras (dalam cotan):

  $$1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$$

  Ini menunjukkan hubungan antara cotan dan kosekan.

b. Identitas Trigonometri Dasar Lainnya

• Identitas untuk tangen:

  $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

  Ini menghubungkan tangen dengan sinus dan kosinus.

• Identitas untuk cotan:

  $$\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$

  Ini menghubungkan cotan dengan sinus dan kosinus.

---

3. Identitas Trigonometri Sekunder

Selain identitas dasar, ada juga identitas yang lebih kompleks yang berguna dalam menyederhanakan ekspresi trigonometri atau menyelesaikan persamaan trigonometri.

a. Identitas Penjumlahan dan Selisih Sudut

Identitas ini digunakan untuk mengubah penjumlahan atau selisih dari dua fungsi trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.

• Identitas Penjumlahan Sinus:

  $$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$$

• Identitas Penjumlahan Kosinus:

  $$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$$

• Identitas Penjumlahan Tangen:

  $$\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)}$$

• Identitas Selisih Sinus:

  $$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$$

• Identitas Selisih Kosinus:

  $$\cos(A - B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$$

• Identitas Selisih Tangen:

  $$\tan(A - B) = \frac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$$

b. Identitas Ganda Sudut

Identitas ini mengubah fungsi trigonometri dari suatu sudut menjadi fungsi trigonometri dari dua kali sudut tersebut.

• Identitas Ganda Sinus:

  $$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$

• Identitas Ganda Kosinus:

  $$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$$

  Atau bisa juga ditulis sebagai:

  $$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$$

  Atau:

  $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$$

• Identitas Ganda Tangen:

  $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$$

c. Identitas Setengah Sudut

Identitas ini digunakan untuk mengubah fungsi trigonometri dari suatu sudut menjadi fungsi trigonometri dari setengah sudut tersebut.

• Identitas Setengah Sudut Sinus:

  $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}$$

• Identitas Setengah Sudut Kosinus:

  $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}$$

• Identitas Setengah Sudut Tangen:

  $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}}$$

---

4. Identitas Trigonometri Khusus

Selain identitas umum di atas, terdapat juga beberapa identitas khusus yang sering digunakan dalam aplikasi trigonometri:

• Identitas Reciprocal:

  • $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$
  • $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$
  • $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$

• Identitas Perbandingan:

  • $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
  • $\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

---

5. Aplikasi Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri memiliki banyak aplikasi, antara lain:

• Menyederhanakan Ekspresi Trigonometri: Identitas trigonometri sering digunakan untuk menyederhanakan ekspresi atau persamaan trigonometri.
• Menyelesaikan Persamaan Trigonometri: Identitas digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, mencari nilai sudut atau panjang sisi dalam geometri.
• Fungsi-fungsi Gelombang: Dalam fisika, identitas trigonometri sering digunakan untuk menggambarkan gelombang, termasuk gelombang suara, cahaya, dan medan elektromagnetik.
• Kalkulus: Identitas trigonometri membantu dalam perhitungan integral dan turunan dari fungsi trigonometri.

---

Kesimpulan

Identitas trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri yang selalu berlaku benar untuk setiap nilai sudut yang valid. Identitas dasar seperti identitas Pythagoras dan hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri lainnya sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika. Identitas penjumlahan, pengurangan, ganda sudut, dan setengah sudut memberikan alat yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika, fisika, dan teknik.