Persamaan kuadrat

 

 Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang berbentuk umum:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

di mana:

• $a$, $b$, dan $c$ adalah koefisien (bilangan real).
• $a \neq 0$ (karena jika $a = 0$, persamaan menjadi linier, bukan kuadrat).
• $x$ adalah variabel atau peubah.

Komponen Persamaan Kuadrat

1. Koefisien $a$: Mengatur bentuk kurva parabola (membuka ke atas jika $a > 0$ atau ke bawah jika $a < 0$).
2. Koefisien $b$: Mengatur posisi parabola di sepanjang sumbu-x.
3. Konstanta $c$: Menentukan titik potong parabola dengan sumbu-y.

Bentuk Grafis Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merepresentasikan kurva parabola pada bidang koordinat kartesius.

• Jika $a > 0$, parabola membuka ke atas.
• Jika $a < 0$, parabola membuka ke bawah.

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

1. Faktorisasi
   Jika persamaan dapat difaktorkan, kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya $ac$ dan jumlahnya $b$.
   Contoh:
   $x^2 + 5x + 6 = 0$
   Faktorkan menjadi: $(x + 2)(x + 3) = 0$.
   Solusi: $x = -2$ atau $x = -3$.

2. Rumus Kuadrat
   Menggunakan rumus kuadrat:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Diskriminan ($D = b^2 - 4ac$) menentukan sifat akar:

   • Jika $D > 0$, terdapat dua akar real berbeda.
   • Jika $D = 0$, terdapat satu akar real (kembar).
   • Jika $D < 0$, tidak ada akar real (akar kompleks).

3. Melengkapkan Kuadrat
   Mengubah bentuk persamaan menjadi $(x - h)^2 = k$, lalu menyelesaikannya.
   Contoh:
   $x^2 + 4x + 1 = 0$
   Tambahkan dan kurangi $(\frac{4}{2})^2 = 4$:
   $(x + 2)^2 - 4 + 1 = 0$, atau $(x + 2)^2 = 3$.
   Solusi: $x = -2 \pm \sqrt{3}$.

4. Grafis
   Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggambar parabola dan menentukan titik potong dengan sumbu-x.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Selesaikan persamaan $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Penyelesaian (Rumus Kuadrat):

$$a = 2, \, b = -3, \, c = -2$$ $$D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$ $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 \pm 5}{4}$$ $$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \, x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$$

Solusi: $x = 2$ dan $x = -\frac{1}{2}$.