Trigonometri

 

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Istilah "trigonometri" berasal dari bahasa Yunani: trigonon (tiga sudut) dan metron (mengukur).

1. Dasar Trigonometri

Trigonometri terutama berhubungan dengan segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang memiliki satu sudut $90^\circ$. Pada segitiga siku-siku, terdapat hubungan antara:

• Sudut (θ), dan
• Sisi-sisi segitiga, yaitu:
  • Hipotenusa: Sisi terpanjang, berseberangan dengan sudut $90^\circ$.
  • Sisi Depan: Sisi yang berada di depan sudut yang sedang dipertimbangkan ($θ$).
  • Sisi Samping: Sisi yang berdekatan dengan sudut $θ$ (selain hipotenusa).

---

2. Fungsi Trigonometri Utama

Fungsi trigonometri mendefinisikan hubungan antara sudut dan panjang sisi segitiga siku-siku. Fungsi utamanya adalah:

1. Sinus ($\sin$):

   $$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}}$$

2. Kosinus ($\cos$):

   $$\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}}$$

3. Tangen ($\tan$):

   $$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$$

   atau

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Hubungan Penting:

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

---

3. Fungsi Trigonometri Sekunder

Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi utama:

1. Kosekan ($\csc$):

   $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi depan}}$$

2. Secan ($\sec$):

   $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi samping}}$$

3. Kotangen ($\cot$):

   $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}$$

---

4. Derajat dan Radian

Sudut dalam trigonometri dapat diukur dalam:

• Derajat ($^\circ$): Satuan yang membagi lingkaran menjadi $360^\circ$.
• Radian ($rad$): Satuan alami dalam trigonometri yang terkait dengan panjang busur lingkaran.
  Hubungan antara keduanya:

$$1 \, \text{radian} = \frac{180^\circ}{\pi}$$ $$1^\circ = \frac{\pi}{180} \, \text{radian}$$

---

5. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan yang selalu benar untuk setiap nilai sudut. Beberapa identitas penting:

1. Identitas Pythagoras:

   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

2. Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sudut:

   • $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
   • $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
   • $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

3. Identitas Sudut Ganda:

   • $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$
   • $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$
   • $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$

---

6. Aplikasi Trigonometri

Trigonometri digunakan dalam berbagai bidang, seperti:

1. Astronomi: Mengukur jarak antar planet atau bintang.
2. Teknik: Menganalisis struktur bangunan dan jembatan.
3. Fisika: Menghitung gaya, gerak gelombang, atau osilasi.
4. Navigasi: Menentukan arah dan jarak dalam pemetaan.
5. Geometri: Menghitung luas atau tinggi objek (seperti gunung atau menara).

---

7. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1:

Diketahui segitiga siku-siku dengan sisi depan $3$, sisi samping $4$, dan hipotenusa $5$. Tentukan nilai $\sin$, $\cos$, dan $\tan$.

Penyelesaian:

$$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}$$ $$\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{5}$$ $$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{3}{4}$$

Soal 2:

Hitung $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$, dan $\tan 30^\circ$.

Penyelesaian (Menggunakan nilai sudut khusus):

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$