Sistem Persamaan Linear

 

 

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah sekumpulan persamaan linear yang memiliki dua atau lebih variabel, di mana setiap persamaan menggambarkan hubungan linear antara variabel-variabel tersebut. Dalam sistem ini, kita mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan secara simultan.

1. Pengertian Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan linear yang saling berhubungan. Persamaan linear adalah persamaan aljabar di mana setiap variabel hanya dipangkatkan satu (derajat pertama), dan variabel-variabel tersebut tidak diprodukkan satu sama lain.

Contoh persamaan linear:

• $2x + 3y = 5$
• $x - y = 1$

Dalam sistem persamaan linear, kita biasanya berusaha untuk menemukan nilai-nilai dari variabel (misalnya $x$ dan $y$) yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

2. Jenis-Jenis Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dibagi menjadi beberapa jenis, tergantung pada jumlah persamaan dan variabelnya.

a. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan yang masing-masing melibatkan dua variabel. Bentuk umum SPLDV adalah:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Di mana $x$ dan $y$ adalah variabel, dan $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ adalah konstanta.

Contoh SPLDV:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$$

b. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel. Bentuk umum SPLTV adalah:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

Di mana $x$, $y$, dan $z$ adalah variabel, dan $a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2, a_3, b_3, c_3, d_3$ adalah konstanta.

Contoh SPLTV:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}$$

c. Sistem Persamaan Linear dengan Banyak Variabel

Sistem persamaan linear juga dapat melibatkan lebih dari tiga variabel, misalnya empat variabel, lima variabel, dan seterusnya, tergantung pada jumlah persamaan dan variabel yang diberikan.

---

3. Solusi Sistem Persamaan Linear

Solusi dari sistem persamaan linear adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

a. Sistem Konsisten

Sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi. Solusi ini bisa berupa satu titik tunggal (solusi unik) atau tak terhingga banyaknya (solusi parametrik). Contoh sistem yang konsisten:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$$

Sistem ini memiliki satu solusi yang memenuhi kedua persamaan.

b. Sistem Tidak Konsisten

Sistem persamaan linear dikatakan tidak konsisten jika tidak ada solusi yang memenuhi semua persamaan dalam sistem. Contoh sistem yang tidak konsisten:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 7 \end{cases}$$

Tidak ada nilai $x$ dan $y$ yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan, sehingga sistem ini tidak konsisten.

c. Sistem Tak Tentu

Sistem persamaan linear dikatakan tak tentu jika memiliki solusi lebih dari satu, yaitu solusi yang tidak terbatas. Ini terjadi ketika kedua persamaan atau lebih saling tumpang tindih (sama) dalam hal hubungan antara variabel.

Contoh sistem tak tentu:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$$

Sistem ini memiliki tak terhingga banyak solusi karena persamaan kedua hanya merupakan kelipatan dari persamaan pertama.

---

4. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, antara lain:

a. Metode Substitusi

Metode substitusi digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggantikan satu variabel dari salah satu persamaan ke dalam persamaan lainnya.

Langkah-langkah metode substitusi:

1. Pilih salah satu persamaan dan isolasi salah satu variabel.
2. Gantilah variabel yang sudah disolusi tersebut ke dalam persamaan lainnya.
3. Selesaikan persamaan baru yang hanya memiliki satu variabel.
4. Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke dalam persamaan yang sudah terisolasi untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Contoh:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$$

Langkah 1: Isolasikan $y$ dalam persamaan kedua: $y = 4x - 3$. Langkah 2: Substitusikan $y$ ke dalam persamaan pertama:

$$2x + 3(4x - 3) = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x + 12x - 9 = 5 \quad \Rightarrow \quad 14x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Langkah 3: Substitusikan $x = 1$ ke dalam $y = 4x - 3$:

$$y = 4(1) - 3 = 1$$

Jadi, solusi dari sistem ini adalah $x = 1$ dan $y = 1$.

b. Metode Eliminasi

Metode eliminasi digunakan untuk mengeliminasi salah satu variabel dari sistem persamaan sehingga menghasilkan sistem persamaan dengan satu variabel.

Langkah-langkah metode eliminasi:

1. Tentukan koefisien salah satu variabel di kedua persamaan agar sama atau saling berlawanan.
2. Tambahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.
3. Selesaikan persamaan yang hanya memiliki satu variabel.
4. Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Contoh:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$$

Langkah 1: Kalikan persamaan kedua dengan 3 agar koefisien $y$ sama.

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 12x - 3y = 9 \end{cases}$$

Langkah 2: Tambahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi $y$:

$$(2x + 3y) + (12x - 3y) = 5 + 9 \quad \Rightarrow \quad 14x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Langkah 3: Substitusikan $x = 1$ ke dalam salah satu persamaan, misalnya $2x + 3y = 5$:

$$2(1) + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 2 + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad 3y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Jadi, solusi dari sistem ini adalah $x = 1$ dan $y = 1$.

c. Metode Matriks (Metode Gauss)

Metode ini melibatkan penggunaan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam metode ini, kita menyusun sistem persamaan dalam bentuk matriks dan kemudian melakukan eliminasi Gauss untuk mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana, yang kemudian dapat diselesaikan menggunakan aturan determinan atau invers matriks.

---

5. Sistem Persamaan Linear dalam Bentuk Matriks

Sistem persamaan linear dapat juga dituliskan dalam bentuk matriks, yang lebih mudah untuk dioperasikan.

Misalnya, sistem persamaan linear:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$$

Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Dengan cara ini, kita dapat menggunakan operasi matriks (seperti invers matriks) untuk menemukan solusi sistem.

---

6. Kesimpulan

Sistem persamaan linear (SPL) adalah sekumpulan persamaan yang memiliki dua atau lebih variabel, yang dapat diselesaikan dengan berbagai metode seperti substitusi, eliminasi, atau penggunaan matriks. Pemahaman yang baik tentang SPL sangat penting karena banyak masalah dunia nyata, seperti perencanaan, ekonomi, dan rekayasa, yang dapat dimodelkan menggunakan sistem ini.