Teorema Pythagoras

 

 

Teorema Pythagoras adalah salah satu konsep dasar dalam matematika, khususnya dalam geometri, yang menghubungkan sisi-sisi segitiga siku-siku. Teorema ini dinamai berdasarkan nama seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno, Pythagoras, yang pertama kali merumuskan hubungan ini.

---

1. Pengertian Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku (segitiga yang memiliki sudut 90°), kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lainnya (kaki segitiga). Jika dalam segitiga siku-siku terdapat sisi-sisi dengan panjang $a$, $b$ (dua sisi yang membentuk sudut siku-siku), dan $c$ (sisi miring atau hipotenusa), maka hubungan antara ketiga sisi tersebut dapat dinyatakan dengan rumus:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Di mana:

• $a$ dan $b$ adalah panjang kedua sisi yang membentuk sudut siku-siku,
• $c$ adalah panjang sisi miring (hipotenusa) yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

---

2. Penjelasan Setiap Elemen dalam Teorema Pythagoras

a. Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut 90°, yaitu sudut yang tepat membentuk sudut tegak lurus. Dalam segitiga siku-siku, sisi yang berlawanan dengan sudut 90° disebut sebagai hipotenusa, sementara dua sisi yang membentuk sudut 90° disebut kaki segitiga.

b. Hipotenusa

Hipotenusa adalah sisi terpanjang dalam segitiga siku-siku, dan selalu berhadapan dengan sudut siku-siku. Dalam teorema Pythagoras, hipotenusa dilambangkan dengan $c$.

c. Kaki Segitiga

Kaki segitiga adalah dua sisi lainnya dalam segitiga siku-siku yang membentuk sudut 90°. Keduanya dilambangkan dengan $a$ dan $b$, dan merupakan sisi-sisi yang lebih pendek dibandingkan dengan hipotenusa.

---

3. Contoh Penggunaan Teorema Pythagoras

Untuk memahami teorema Pythagoras lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1: Menemukan panjang hipotenusa

Misalnya kita memiliki segitiga siku-siku dengan panjang kaki segitiga $a = 3$ satuan dan $b = 4$ satuan. Untuk menemukan panjang hipotenusa $c$, kita dapat menggunakan rumus teorema Pythagoras:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$3^2 + 4^2 = c^2$$ $$9 + 16 = c^2$$ $$25 = c^2$$ $$c = \sqrt{25}$$ $$c = 5$$

Jadi, panjang hipotenusa $c = 5$ satuan.

Contoh 2: Menemukan panjang salah satu kaki segitiga

Misalnya kita memiliki segitiga siku-siku dengan panjang hipotenusa $c = 13$ satuan dan salah satu kaki segitiga $a = 5$ satuan. Untuk menemukan panjang kaki segitiga lainnya ($b$), kita menggunakan rumus:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$5^2 + b^2 = 13^2$$ $$25 + b^2 = 169$$ $$b^2 = 169 - 25$$ $$b^2 = 144$$ $$b = \sqrt{144}$$ $$b = 12$$

Jadi, panjang kaki segitiga lainnya $b = 12$ satuan.

---

4. Aplikasi Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras tidak hanya berguna dalam matematika dasar, tetapi juga memiliki banyak aplikasi praktis dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai bidang ilmu:

a. Dalam Geometri

Teorema ini digunakan untuk menentukan panjang sisi dalam segitiga siku-siku. Ini sangat berguna dalam pembangunan dan desain bangunan, perencanaan jalan, dan berbagai aplikasi geometri lainnya.

b. Dalam Fisika

Teorema Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak atau pergeseran dalam ruang tiga dimensi, seperti menghitung vektor resultan dari dua vektor yang saling tegak lurus.

c. Dalam Teknik dan Arsitektur

Di bidang teknik dan arsitektur, teorema Pythagoras digunakan untuk memastikan ketepatan sudut, misalnya saat membangun kerangka bangunan, memeriksa kesejajaran struktur, atau menghitung panjang diagonal dalam desain bangunan.

d. Dalam Navigasi

Di bidang navigasi, terutama dalam penerbangan dan pelayaran, teorema Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak lurus atau memetakan rute yang melibatkan perubahan arah pada sudut 90°.

---

5. Kondisi Pythagoras pada Segitiga Siku-Siku

Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang memiliki sudut 90°. Pada segitiga tumpul atau lancip, teorema ini tidak berlaku secara langsung. Namun, untuk segitiga sembarang, ada konsep yang lebih umum yang disebut Teorema Pythagoras Generalisasi atau Teorema Pythagoras untuk Segitiga Sembarang.

---

6. Bukti Teorema Pythagoras

Terdapat banyak cara untuk membuktikan teorema Pythagoras. Salah satu bukti yang paling terkenal adalah bukti dengan pemotongan dan penyusunan. Berikut adalah langkah-langkah dari bukti tersebut:

1. Gambarkan sebuah persegi besar dengan sisi panjang $a + b$, yang terdiri dari empat buah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi $a$, $b$, dan $c$, dan sebuah persegi kecil di dalamnya dengan sisi $c$.
2. Luas persegi besar adalah $(a + b)^2$.
3. Luas persegi kecil di dalamnya adalah $c^2$.
4. Luas total persegi besar juga dapat dihitung dengan cara menghitung luas empat segitiga dan persegi kecil, yaitu $4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2$.
5. Dengan menyamakan kedua ekspresi luas tersebut, kita dapat memperoleh hasil yang menunjukkan bahwa $a^2 + b^2 = c^2$.

---

7. Kesimpulan

Teorema Pythagoras adalah rumus yang sangat penting dalam matematika yang menghubungkan sisi-sisi segitiga siku-siku. Dengan rumus $a^2 + b^2 = c^2$, kita dapat menghitung panjang sisi segitiga yang tidak diketahui jika panjang dua sisi lainnya sudah diketahui. Teorema ini memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang, seperti geometri, fisika, teknik, dan navigasi.